[BAE/<JOON>][백준][#6064] 카잉 달력

https://www.acmicpc.net/problem/6064

6064번: 카잉 달력

문제

최근에 ICPC 탐사대는 남아메리카의 잉카 제국이 놀라운 문명을 지닌 카잉 제국을 토대로 하여 세워졌다는 사실을 발견했다. 카잉 제국의 백성들은 특이한 달력을 사용한 것으로 알려져 있다. 그들은 M과 N보다 작거나 같은 두 개의 자연수 x, y를 가지고 각 년도를 <x:y>와 같은 형식으로 표현하였다. 그들은 이 세상의 시초에 해당하는 첫 번째 해를 <1:1>로 표현하고, 두 번째 해를 <2:2>로 표현하였다. <x:y>의 다음 해를 표현한 것을 <x':y'>이라고 하자. 만일 x < M 이면 x' = x + 1이고, 그렇지 않으면 x' = 1이다. 같은 방식으로 만일 y < N이면 y' = y + 1이고, 그렇지 않으면 y' = 1이다. <M:N>은 그들 달력의 마지막 해로서, 이 해에 세상의 종말이 도래한다는 예언이 전해 온다. 

예를 들어, M = 10 이고 N = 12라고 하자. 첫 번째 해는 <1:1>로 표현되고, 11번째 해는 <1:11>로 표현된다. <3:1>은 13번째 해를 나타내고, <10:12>는 마지막인 60번째 해를 나타낸다. 

네 개의 정수 M, N, x와 y가 주어질 때, <M:N>이 카잉 달력의 마지막 해라고 하면 <x:y>는 몇 번째 해를 나타내는지 구하는 프로그램을 작성하라. 

입력

입력 데이터는 표준 입력을 사용한다. 입력은 T개의 테스트 데이터로 구성된다. 입력의 첫 번째 줄에는 입력 데이터의 수를 나타내는 정수 T가 주어진다. 각 테스트 데이터는 한 줄로 구성된다. 각 줄에는 네 개의 정수 M, N, x와 y가 주어진다. (1 ≤ M, N ≤ 40,000, 1 ≤ x ≤ M, 1 ≤ y ≤ N) 여기서 <M:N>은 카잉 달력의 마지막 해를 나타낸다.

출력

출력은 표준 출력을 사용한다. 각 테스트 데이터에 대해, 정수 k를 한 줄에 출력한다. 여기서 k는 <x:y>가 k번째 해를 나타내는 것을 의미한다. 만일 <x:y>에 의해 표현되는 해가 없다면, 즉, <x:y>가 유효하지 않은 표현이면, -1을 출력한다.

 

예제 입력	예제 출력
3 10 12 3 9 10 12 7 2 13 11 5 6	33 -1 83

 

---

 

종말을 나타내는 <M:M> 해는 M과 N의 최소 공배수가 된다.

(M, N) 이 각각 (4, 5) 인 경우를 생각해 보면 아래와 같이 4와 5의 최소 공배수인 20번째 해까지 존재함을 알 수 있다.

1:1

2:2

3:3

4:4

1:5

2:1

3:2

4:3

1:4

2:5

3:1

4:2

1:3

2:4

3:5

4:1

1:2

2:3

3:4

4:5

 

(M, N) 이 각각 (2, 4) 인 경우를 생각해 보면 아내와 같이 2와 4의 최소 공배수인 4번째 해까지 존재함을 알 수 있다.

1:1

2:2

1:3

2:4

 

또한 <x:y> 의 가능한 조합은 x와 y의 차이가 0 또는 M과 N의 최대 공약수의 배수가 된다.

(M, N) 이 각각 (4, 6) 인 경우를 생각해 보면 아래와 같이 x와 y의 차이가 최대 공약수인 2의 배수가 됨을 알 수 있다.

1:1 (0)

2:2 (0)

3:3 (0)

4:4 (0)

1:5 (4)

2:6 (4)

3:1 (2)

4:2 (2)

1:3 (2)

2:4 (2)

3:5 (2)

4:6 (2)

(M, N) 이 각각 (6, 9) 인 경우를 생각해 보면 아래와 같이 x와 y의 차이가 최대 공약수인 3의 배수가 됨을 알 수 있다.

1:1 (0)

2:2 (0)

3:3 (0)

4:4 (0)

5:5 (0)

6:6 (0)

1:7 (6)

2:8 (6)

3:9 (6)

4:1 (3)

5:2 (3)

6:3 (3)

1:4 (3)

2:5 (3)

3:6 (3)

4:7 (3)

5:8 (3)

6:9 (3)

x와 y 차이가 M과 N의 최대 공약수의 배수가 아니라면, 해당 해는 유효하지 않은 해가 된다.

 

주어진 x에 대해서 <x:n> 로 표현 가능한 해는 다음과 같다.

(x) 번째 해, (M+x) 번째 해, (2*M+x) 번째 해, (3*M+x) 번째 해, ... (단 최대 공약수 보다 작아야 함)

 

또한 주어진 y에 대해서 <n:y> 로 표현 가능한 해는 다음과 같다.

(y) 번째 해, (N+y) 번째 해, (2*N+y) 번째 해, (3*N+y) 번째 해, ... (마찬가지로 최대 공약수 보다 작아야 함)

 

이를 모두 구해서 동일한 해가 있을 경우, 해당 해는 유효한 해가 된다.

 

Python3

import math
for _ in range(int(input())):
    M, N, x, y = map(int, input().split())
    g, r = math.gcd(M, N), -1
    if (x - y) % g == 0:
        m = set([i * M + x for i in range(int(N/g))])
        n = set([i * N + y for i in range(int(M/g))])
        if m & n:
            r = tuple(m & n)[0]
    print(r)